INTERPRETACIÓN DE RAÍCES DE GRAFICACIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS.

Interpretación de las raíces o soluciones de ax2 + bx + c = 0

a partir de la visualización gráfica de y = ax2 + bx + c

La representación gráfica de una ecuación cuadrática o de segundo grado es una parábola; esta representación se establece mediante la expresión y = ax2 + bx + c. Para hacer la gráfica se aplica el método de tabulación, para el cual se le asignan valores a x, que al ser sustituidos en la expresión y = ax2 + bx + c se tienen los valores de y, obteniendo parejas ordenadas, mismas que se representan en el plano cartesiano.

Recuerda que:

La solución de la ecuación ax2 + bx + c = 0 es el valor(es) de xcorrespondiente a y = 0 en la gráfica de la parábola y = ax2 + bx + c. Así, la solución son las abscisas de los puntos donde la parábola intercepta (corta) al eje x. Si la gráfica no intercepta al eje x, se dice que las raíces son imaginarias.

Los valores que corresponden a la solución de una ecuación cuadrática se denominan raíces o soluciones de la ecuación.

Una ecuación cuadrática puede tener dos raíces; es decir, la parábola corta dos puntos del eje x.

Una ecuación cuadrática puede tener sólo una raíz; es decir, la parábola corta sólo un punto del eje x.






La parábola que no corta ningún punto del eje x, no tiene raíces reales; éstas son imaginarias.

ECUACIONES CUADRÁTICAS.

La ecuación cuadrática con una variable ax2 + bx + c = 0

A la ecuación de la forma

Se le llama ecuación cuadrática de x, o de segundo grado, donde a, b y c son constantes. Esta ecuación es de gran importancia y se presenta frecuentemente no sólo en matemáticas, sino también en física, química, biología, Etc., ya que modela a muchos fenómenos relacionados con estas ciencias.

Por ejemplo, en la física el modelo que describe el movimiento de caída libre es:
h = 4.9t2

Para representar la energía potencial elástica, el modelo es:
EP = 221kx

El modelo que permite calcular el área de un círculo es.
A = π r2

Ejemplo:

Encuentra el modelo que permite calcular la longitud de un tensor que sujeta a una torre, sabiendo que éste mide dos unidades más que la altura de la torre, y desde la base de la torre hasta donde se sujeta el tensor mide una unidad más que la altura de la torre.

Solución:

Se puede realizar el siguiente dibujo del problema, correspondiente a un triángulo rectángulo en donde la hipotenusa es el tensor y los catetos son la base y la altura de la torre, respectivamente.
Altura de la torre: x
Longitud de la base hasta donde se
sujeta el tensor: x + 1
Longitud del tensor: x + 2

Teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras, se cumple: (x + 2)2 = (x + 1)2 + x2.
Operando: x2 + 4x + 4 = x2 + 2x + 1 + x2.
Agrupando todos los términos en el segundo miembro y simplificando, se obtiene el modelo

x2 – 2x – 3 = 0